Superenalotto
Le vere probabilità di vincita del gioco a premi più popolare d'Italia
Fra
il 3 febbraio 2009 (concorso N° 15) ed il 20 agosto del 2009 (concorso N°100),
nessuno riuscì a centrare il mitico 6 al Superenalotto, facendo
quindi levitare il montepremi del Jackpot fino alla stratosferica cifra di 147.807.299,08
€, poi vinti il 22 agosto con un biglietto giocato alla ricevitoria di un bar di Bagnone (Massa
Carrara).
La cosa più strabiliante però, dal punto di vista statistico, e non osservata da nessuno, non è tanto il numero di concorsi senza vincitori, bensì il fatto che nel precedente concorso vincente (il N° 14), ben 5 concorrenti avevano realizzato il 6! A parte l'anomalia statistica, si trattò in quel caso di persone fortunatissimamente sfortunate, in quanto dovettero dividere il montepremi fra loro, incassando appena 7.947.183,69 € a testa...
Ancor più fortunatamente sfortunata fu la persona che azzeccò il 6 nell'estrazione del 22 maggio 2007: poiché appena due giorni prima, nel concorso precedente, era stato realizzato un altro 6 da 71.439.610,83 €, il Jackpot non aveva avuto modo di crescere, ed il poveretto dovette accontentarsi di soltanto 1.709.467,29 €...
Un po' come in una
vecchia storia apparsa su Topolino negli anni '70, credo (forse era "Gastone
e la fortuna sfortunata", o qualcosa di simile... 
comunque
NON questa
storia, che è ben più tarda, del '91), in cui Paperino e Gastone cozzano
casualmente con la testa fra loro, e come conseguenza ciascuno dei due assorbe
un po' delle peculiarità dell'altro. Per cui a Gastone finisce ancora per andar
sempre bene, ma a costo di inenarrabili vicissitudini che gli fanno sospettare
di aver perso la sua proverbiale buona sorte, mentre Paperino si avvicina più
volte ad un nonnulla da indicibili fortune, che poi come sempre alla fine
svaniscono... Ecco, i 6 protagonisti delle vincite di cui sopra sono un po' come
il Gastone di quella storia, e ne vengono quindi fuori più che bene, ci
mancherebbe, ma con il rammarico immenso dell'aver perso per un pelo il
colpaccio strepitoso... In un ipotetico Club dei vincitori del Superenalotto,
costoro sarebbero degli emarginati, dei vincitori di second'ordine... Senz'altro
demerito dell'essere capitati come vincenti in casi di anomalia statistica...
A parte gli esempi di cui sopra ai limiti dell'aneddotica (non è questo il tema di questa pagina), l'escalation dell'interesse generale dell'estate 2009 sul montepremi del Superenalotto mi aveva spinto a cercar di calcolare le varie probabilità di fare 6, 5+1 eccetera, per puro sollazzo statistico/matematico... Il calcolo della probabilità di far 6 è abbastanza semplice, per il 5+1 ed il 5 le cose sono più complesse; ho cercato un po' in giro con GoogleTM, e sono alla fine rimasto abbastanza stupito nello scoprire che i pochi siti che riportano i valori delle probabilità (anche quelli completi dei calcoli) presentano valori sempre o quasi sbagliati (e, spesso, clamorosamente diversi fra loro)! Nessuno dei siti da me esplorati riporta tutti i valori corretti, c'è sempre un errore per almeno uno di essi!
Chi legge potrebbe chiedersi come possa io vantar d'esser certo che calcoli e valori che seguono siano invece esatti; ovviamente infatti non posso esserne sicuro al 100%, e se qualcuno trovasse qualche pecca nel seguito sarei ben contento di accettare suggerimenti e correzioni. Resta il fatto che ho eseguito tutte le possibili verifiche che mi sono venute in mente, trovando conferma per i risultati, così come di seguito esposto.
La maggior parte degli errori rilevati nei vari altri siti riguarda le valutazioni per il caso del 5: quasi sempre viene inglobata la probabilità di far 6 in quella di far 5. E' ovvio che un 6 contiene in sé anche sei 5, ma le regole prevedono che venga pagato il solo 6, se vincente, non anche i 5 collaterali. Inoltre, praticamente nessuno scorpora il caso del 5+1 da quello del 5, ed il tutto porta alla sopravvalutazione della probabilità di fare un 5 secco...
Nel seguito si sottintende sempre, salvo diverso avviso, che i calcoli riportati siano relativi alla giocata di una sola sestina; per più sestine, se non sono troppe, la probabilità complessiva di vincita si ottiene quasi moltiplicando il numero di differenti sestine giocate per le varie probabilità. In realtà ciò non è matematicamente corretto, poiché non tiene in conto le probabilità condizionali (la probabilità di fare 3 è circa 1/327; non è però vero che giocando 327 sestine si abbia la certezza di fare 3...). E' poi noto che per regolamento occorre giocare almeno 2 sestine; ciononostante, i calcoli che seguono si riferiscono ad una sestina singola.
Infine, non si è considerato in questo contesto il numero Superstar; in effetti, non so neppure bene come funzioni, dal momento che non me ne sono mai interessato...
Qui di seguito l'indice
dei temi trattati in questa pagina:
Il numero di diverse possibilità
In quanti modi diversi può presentarsi il risultato di una qualsiasi estrazione del Superenalotto, e come si ripartiscono le vincite? Il calcolo non è così banale come per il Totocalcio, dove (all'epica epoca del 13) le diverse possibilità erano 313, e nemmeno di media complessità come per il Lotto, sebbene quest'ultimo si avvicini di più al Superenalotto. Le complicazioni derivano dalla presenza del numero Jolly, che serve per determinare le vincite per il 5+1, in particolare poiché le regole di estrazione sono tali che il Jolly viene gestito in modo diverso dai numeri della sestina base.
Quando viene estratto il primo numero (non coi mezzi dell'immagine sotto a sinistra; oggi si utilizza un complicato marchingegno pneumatico a prova di imbrogli, almeno si spera...), vi sono 90 valori diversi che questo può assumere; per il secondo 89 valori relativi ai rimanenti numeri, e così via fino ad 85 per il sesto numero. Il numero di modi in cui i 6 numeri possono venire estratti è quindi:
Ma, per le regole del gioco, la sequenza di estrazione non ha alcuna importanza; due estrazioni che producessero le sestine:
(45,
31, 78, 2, 29, 16) e (29, 16, 31, 78, 45, 2)
sarebbero del tutto equivalenti per l'attribuzione dei premi, e verrebbero presentate entrambe nello stesso usuale ordine crescente:
(2, 16, 29, 31, 45, 78)
Poiché 6 numeri distinti possono comparire in:
ordinamenti diversi, nei 448 miliardi e rotti di possibilità ciascuna sestina riordinata appare 720 volte; il numero effettivo di sestine da considerare è quindi dato da:
Tutto ciò relativamente alla sestina base; dopo di essa viene estratto il numero Jolly fra i rimanenti. Contrariamente ai primi 6 numeri, quest'ultimo non viene riordinato: a ciascuna delle sestine può abbinarsi allora uno qualsiasi degli 84 numeri residui, per cui la quantità globale di possibilità per il complesso dei 7 numeri estratti è:
In pratica però, il Jolly ha significato esclusivamente per le sestine giocate che realizzano un 5; su di esse l'effetto del Jolly può essere il trasformarle in un 5+1 o, più probabilmente, nel lasciarle vincenti come 5. Le sestine che per ogni data estrazione realizzano 6, 4, 3, 2, 1 o 0 punti non sono influenzate in alcuna maniera dal valore del numero Jolly; per il 6, un 6+1 non è nemmeno concepibile, per gli altri valori le sestine che realizzano, poniamo, un 3+1 o un 2+1 rimangono rispettivamente vincenti o perdenti nelle relative categorie dei 3 e dei 2.
Nel seguito, si inizia col calcolare le ripartizioni di possibilità di vincita (o non vincita) fra le varie categorie, ipotizzando inizialmente che il 5+1 non esista, o meglio che sia conglobato nel 5. Questo fornisce i valori corretti per tutte le categorie tranne la 5 e la 5+1, che vengono poi trattate separatamente.
Cosa farsene di tutte queste possibilità
Per quanto sopra, se un'oretta dopo una qualsiasi estrazione andiamo frementi a consultare la pagina 598 del Televideo, la lista di 7 numeri che apparirà sarà una fra le 52·299·628·920 possibili; come anticipato sopra, occupiamoci al momento della sola sestina base, senza considerare il numero Jolly. Le possibili combinazioni da prendere in considerazione ammontano allora a 622·614·630, come visto in precedenza.
Un certo numero di esse
permette di far 6, un altra
quantità 5, e così via. In sostanza, per ciascuna sestina da noi giocata,
l'esito può essere uno ed uno solo fra i seguenti 7 casi:
La sestina ottiene un 6; ciò capita per N6 dei 622·614·630 casi
La sestina ottiene un 5; ciò capita per N5 dei 622·614·630 casi
La sestina ottiene un 4; ciò capita per N4 dei 622·614·630 casi
La sestina ottiene un 3; ciò capita per N3 dei 622·614·630 casi
La sestina ottiene un 2; ciò capita per N2 dei 622·614·630 casi
La sestina ottiene un 1; ciò capita per N1 dei 622·614·630 casi
La sestina ottiene uno 0; ciò capita per N0 dei 622·614·630 casi
Poiché una singola sestina non può contemporaneamente realizzare, poniamo, sia un 2 che un 3, e poiché in uno dei 7 casi di cui sopra essa deve pur ricadere, deve essere necessariamente:
I termini N6, N5, ..., N0 rappresentano il numero di possibilità di realizzare rispettivamente 6, 5, ..., 0. Per ottenere le relative probabilità di realizzazione dei vari punteggi, basta dividere ciascun numero di possibilità per i casi possibili complessivi, cioè per 622·614·630. Se denominiamo P6, P5, ..., P0 tali probabilità, dovrà allora essere:
Spesso il concetto di probabilità viene espresso non come numero decimale (minore di 1) quali sono le varie P definite sopra, bensì in termini dialettici tipo una possibilità su 100·000, e ciò per dare l'idea di quante volte si dovrebbe giocare per avere una singola concreta opportunità di vincita; si trasformano cioè i valori P di cui sopra in frazioni con numeratore unitario. Se utilizziamo la lettera M per definire i denominatori di tali frazioni, la precedente relazione diventa:
Mi rendo conto di esser stato un po' pedante in questa esposizione, e che molti abbiano ormai abbandonato la lettura per attività ben più gratificanti; ritengo però che molti degli errori riscontrabili in giro nei vari siti che trattano l'argomento derivino proprio dal non aver considerato le regole basilari esposte sopra. Primo fra tutti, l'errore di attribuire i casi riferibili al 6 anche al 5 (contravvenendo alla regola che l'esito per ciascun caso possibile può essere uno ed uno solo fra i 7 citati), o tralasciando di valutare i casi di non vincita (2, 1 e 0), utilissimi invece per verificare che le somme di cui sopra siano consistenti.
Nei prossimi paragrafi si calcoleranno i valori dei vari fattori N, da cui è poi facile risalire ai valori dei fattori P ed M.
Il calcolo di N6 è il più semplice di tutti; c'è una ed una sola sestina base ordinata che garantisca la vincita, quella per cui tutti i 6 numeri estratti (Jolly escluso) coincidono con i 6 giocati. Quindi N6 è pari ad 1, per cui:
Il calcolo di M6 appare un po' lezioso, sapevamo già di avere una sola possibilità su 622·614·630; ciò capita perché N6 è proprio pari ad 1. Si vedrà che negli altri casi, il valore di M è più significativo, quando N assume valori diversi.
La probabilità
(provvisoria) di far 5
Vediamo come valutare N5; consideriamo la combinazione vincente, quella che realizza il 6. La sestina giocata, per realizzare 5, deve avere in sé uno qualsiasi (ed uno solo) dei 6 numeri sbagliato: cioè al posto di uno dei 6 numeri vincenti deve essercene uno (solo uno, ma uno, non nessuno!) degli 84 non estratti. Quindi tutte le sestine che realizzano 5 si ottengono alterando in 84 modi diversi ciascuno dei 6 estratti, cioè:
Quindi fare 5 è 504 volte più probabile che far 6, ma attenzione! Questa probabilità contiene in sé anche quella di realizzare un 5+1! Per il momento accontentiamoci, restando dubbiosi, e manteniamo i valori trovati come provvisori...
Con N4
le cose si complicano un po'... Ripartiamo dalla sestina vincente: per
trasformarla in una che realizza un 4 bisogna alterare 2 dei numeri vincenti in
altrettanti numeri sbagliati, in tutti i modi possibili. Supponiamo che
la combinazione vincente sia la (2, 16, 29, 31, 45, 78) presa ad 
esempio
in precedenza; i due numeri da alterare possiamo sceglierli in 15 modi diversi,
indicati in rosso
nella tabella che segue:
| (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) |
| (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) |
| (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) | (2, 16, 29, 31, 45, 78) |
Le scelte possibili sono 15 poiché il primo dei due numeri possiamo sceglierlo in 6 modi diversi, ed il secondo fra i 5 rimanenti, quindi 6·5=30 possibilità; ma l'ordine con cui vengono selezionati i due numeri da alterare non ha importanza (2 e 16 oppure 16 e 2 ha lo stesso effetto), per cui i casi da considerare sono la metà. Questa osservazione tornerà utile per le probabilità successive, quando verrà estesa a quei casi.
Per ciascuno dei 15 modi elencati, dobbiamo poi considerare 2 fra gli 84 numeri sbagliati potenzialmente possibili e posizionarli al posto dei numeri rossi: il primo di essi possiamo sceglierlo ovviamente in 84 modi diversi, il secondo fra i rimanenti 83, quindi nel complesso 84·83=6·972 possibilità. Ma, ancora una volta, attenzione! Data una qualsiasi coppia di numeri sbagliati scelta (poniamo siano 11 e 63), essa appare due volte nelle suddette 6·972 possibilità (l'11 per primo ed il 63 per secondo, o viceversa), e non fa differenza se sostituiamo l'11 al 2 ed il 63 al 16, oppure il contrario, poiché ai fini del regolamento non conta l'ordine in cui i numeri appaiono nella sestina finale; dobbiamo quindi ancora dimezzare il numero di combinazioni che vengono fuori. In definitiva si può scrivere:
Con N3 sarebbe ancora più contorto... Ma se estendiamo quanto visto per N4, le cose non dovrebbero essere troppo difficili... Ricominciando sempre dalla sestina vincente, per trasformarla in una che realizza un 3 bisogna alterare 3 numeri, rendendoli sbagliati. I numeri da alterare possono essere scelti in 6·5·4=120 modi diversi, ma ancora una volta bisogna ignorare l'ordine con cui sono scelti, per cui questo fattore va diviso per 3·2=6 (6 sono infatti i modi in cui possono essere riordinati 3 diversi numeri, ad esempio così: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). I 3 numeri sbagliati che vanno a sostituire quelli buoni da togliere potranno adesso essere scelti in 84·83·82 modi diversi, ed ancora dividiamo questo fattore per 3·2, in quanto come sempre non interessa l'ordine di estrazione, stavolta dei numeri sostituti. Quindi:
Perché mai ci interessiamo della probabilità di far 2? In fondo, non è vincente, anzi: è quella che maggiormente fa incaz... Beh, semmai qualcuno è interessato a sapere con che cadenza può aspettarsi di potersi incavolare, però ciò serve maggiormente per altre ragioni.
Primo, per completezza espositiva: le varie probabilità di occorrenza vanno valutate prescindendo dal fatto che siano vincenti o no, è una questione di uniformità matematica; poi potrebbero cambiare i regolamenti, e semmai anche il 2 diventerebbe vincente... Ancora, il calcolo dei casi in cui si fa 2 serve, come si vedrà, per la verifica dei risultati...
Comunque, per N2, si dà per scontato che il metodo visto per N3 sia chiaro... Quanto visto per N3 si estende facilmente come segue:
Per N1, si ha poi, sempre continuando come sopra:
Infine, per N0, si giunge stremati a quanto segue:
Qualche verifica intermedia...
Prima di procedere col caso del 5+1, facciamo qualche controllino che i risultati ottenuti siano coerenti. Sempre assumendo che il 5+1 non esista, la somma delle varie possibilità di occorrenza dei singoli risultati deve corrispondere al totale delle combinazioni possibili; infatti si ha:
Un'altra verifica può essere eseguita ragionando su N0; nel paragrafo precedente esso è stato ricavato estendendo le formule utilizzate precedentemente per N4, N3, eccetera, fino ad N0 appunto. Se si rammenta come sono state costruite, per queste si partiva da N6, calcolando in quanti modi questo potesse essere modificato per ottenere via via sestine in grado di produrre un 4, un 3, e così via fino a nessuna, cioè N0.
Ma N0 può anche essere calcolato diversamente, dal punto di vista concettuale. Vediamo come: il numero di modi in cui il primo estratto può non appartenere alla sestina giocata è 84 (dei 90 numeri, tutti tranne i 6 estratti); il secondo estratto, per essere anch'esso fra i non appartenenti alla nostra sestina, può essere scelto in 83 modi diversi, e così via. Affinché tutti i 6 estratti non facciano parte della sestina giocata (quindi, per realizzare 0, sai che soddisfazione...), vi sono allora 84·83·82·81·80·79 possibilità. Ancora una volta, l'ordine di estrazione non ha alcuna influenza, per cui occorre dividere per il fattore che dà conto del numero di modi possibili di apparizione dei 6 numeri, come segue:
Naturalmente, questa relazione fornisce lo stesso risultato ricavato in precedenza; ma essendo stato completamente ribaltato il processo logico di costruzione della formula, essa costituisce una forte conferma della validità dei calcoli eseguiti.
E adesso si può andare a vedere cosa succede quando si prende in considerazione il numero Jolly... Secondo il regolamento del gioco, soltanto le sestine giocate che hanno realizzato un 5 sono interessate al valore del numero Jolly; le altre, vincenti con 6, 4 e 3 punti, oppure perdenti con 2, 1 o 0 punti, non saranno influenzate in alcun modo. Quindi i valori di N6, N4, N3, N2, N1 ed N0, nonché i valori di P ed M ad essi associati, non cambieranno per nulla.
Solo N5 (con P5 ed M5 di conseguenza), subirà modifiche; vediamo come. Si ricorda che N5=504; ciò vuol dire che esistono 504 possibili sestine giocate che hanno 5 numeri corretti ed uno sbagliato; per realizzare il 5+1 con una qualsiasi di esse occorre che il numero Jolly coincida proprio con il numero sbagliato contenuto in ciascuna di esse.
Il numero Jolly viene estratto dopo i 6 numeri vincenti, indipendentemente da essi, fra gli 84 numeri residui: vi è allora una sola possibilità su 84 che esso coincida proprio con il numero sbagliato, per ciascuna delle 504 sestine che realizzano il 5. Quindi:
Ed è quindi 6 volte più probabile realizzare un 5+1 anziché un 6...
La probabilità (definitiva) di far 5
Poiché fra i 504 generici modi di realizzare un 5, 6 di essi cambiano di categoria secondo regolamento (salendo in quella del 5+1) il reale numero di possibilità in grado di realizzare un 5 secco scende corrispondentemente di tale quantità... Si ha allora:
E finalmente, il traguardo è raggiunto, e si possono riepilogare i risultati conseguiti, qui nella tabella che segue:
| Probabilità di realizzare i vari punteggi al gioco del Superenalotto | |||||
| Punteggio | Possibilità | Probabilità | 1 / Probabilità | Rapporto N / (N+1) |
|
| 6 | 1 | ~1,60613·10-09 | 622·614·630 | N.A. | |
| 5+1 | 6 | ~9,63678·10-09 | 103·769·105 | 6 | |
| 5 | 498 | ~7,99853·10-07 | ~1·250·230 | 83 | |
| 4 | 52·290 | ~8,39845·10-05 | ~11·907 | 105 | |
| 3 | 1·905·680 | ~3,06077·10-03 | ~327 | 36,4 | |
| 2 | 28·942·515 | ~4,64854·10-02 | ~21,5 | 15,1875 | |
| 1 | 185·232·096 | ~0,297507 | ~3,36 | 6,4 | |
| 0 | 406·481·544 | ~0,652862 | ~1,53 | 2,194 | |
| Totali | 622·614·630 | 1 | N.A. | N.A. | |
Qualche chiarimento sulla tabella, per chi arrivasse qui senza essere interessato a leggere tutto quanto esposto sopra o sotto, e comunque a titolo di compendio:
Tutti
i calcoli e considerazioni qui sopra sono passibili di dubbi, incertezze e
contestazioni; come essere ragionevolmente sicuri che siano corretti?
Necessariamente, un approccio realmente scientifico richiede verifiche
sperimentali e/o teoriche, quest'ultime condotte con criteri indipendenti e che,
se non danno certezze assolute (quando in accordo...; se in disaccordo le danno
e come...), almeno confortano sul fatto che in qualche caso pratico le cose
funzionino...
Un primo paio di verifiche parziali è stato esposto sopra nel paragrafo Qualche verifica intermedia; si è visto che quadrava il numero complessivo di Possibilità con la somma delle singole, e che due metodi di calcolo indipendenti per N0 fornivano lo stesso risultato. Ma questo può non esser sufficiente a rassicurare, per cui ci si può sempre aspettare che spunti fuori una confutazione...
Per minimizzare le possibilità di confutazione, si è allora provveduto ad identificare una serie di metodi di verifica, di seguito esposti, che si spera rasserenino il maggior numero possibile di dubbiosi.
Metodo 1; verifica sperimentale spinta
Il regolamento del gioco del Superenalotto prevede che, nel compilare le schedine, si possano compendiare giocate multiple su singoli Pannelli, ciascuno dei quali contiene i 90 numeri relativi al gioco. Al minimo, per un Pannello è prevista la selezione di 6 numeri, e ciò comporta la giocata di una sola sestina; al massimo, si possono selezionare 20 numeri in un Pannello, ciò comportando invece la giocata contemporanea di 38·760 sestine. Vi sono in giro schedine con 5 Pannelli, come quella mostrata sotto a destra, che permettono quindi di giocare 5·38·760=193·800 sestine su ciascuna di esse. Il procedimento di verifica sperimentale spinta è allora quello che segue:
Procurarsi 3·213 di tali schedine, e compilarle in modo da coprire tutte e sole le 622·614·630 sestine che possono venire estratte
Recarsi quindi ad uno
sportello Bancomat, ed eseguire un prelievo: inserito il PIN ***** e
ricevuta conferma, quando
il terminale richiede l'importo fra le possibilità 50 €, 100
€, 150 €, 200 €, 250 € o Altro Importo, si
selezioni Altro
Importo
Digitare poi una cifra pari a 311·307·315 €, ed incassare l'Importo
Andare in una qualsiasi ricevitoria e giocare le 3·213 schedine, pagando col denaro appena prelevato
Tornare a casa con tutte le schedine in tasca (procurandosi preventivamente una giacca con tasche di dimensione adeguata)
Attendere la successiva estrazione del Superenalotto
Verificare sulle 3·213 schedine accumulate a casa che si siano realizzate vincite (e non vincite) come segue:
Quantità 1 di 6
Quantità 6 di 5+1
Quantità 498 di 5
Quantità 52·290 di 4
Quantità 1·905·680 di 3
Quantità 28·942·515 di 2
Quantità 185·232·096 di 1
Quantità 406·481·544 di 0
Se tutto corrisponde, i calcoli di cui sopra hanno una discreta probabilità di esser corretti...
Metodo 2; verifica sperimentale economica
Se, nell'applicare il Metodo 1 sopra descritto, il Bancomat per una qualche oscura ragione rifiuta di erogare i 311·307·315 € richiesti, procedere come segue:
Procurarsi 1·729·486
fogli di carta formato A4; con risme di 500 fogli ciascuna, bastano
3·459
risme.
A 2,2 € alla risma (costo indicativo al 6 settembre 2009), la spesa è contenuta, poco più
di 7·600
€...
Su ciascun foglio è agevolmente possibile trascrivere 180 sestine per facciata (fronte e retro), come mostrato a destra per le prime 180; occorre allora utilizzare i fogli per elencare tutte le 622·614·630 possibilità (e avanza qualcosa sulla penultima facciata; e poi l'ultima resta bianca, quindi utile per qualche appunto...)
Attendere la successiva estrazione del Superenalotto
Cerchiare a penna in rosso tutti i numeri estratti della sestina base, ovunque i fogli A4 li contengano; ed in fucsia il numero Jolly, ovunque appaia
Se, ad esempio, i numeri estratti fossero (8, 31, 62, 66, 79, 84), con Jolly 23, i numeri andrebbero evidenziati sui fogli A4 come nell'esempio a destra
Esaminare attentamente sui fogli A4 così aggiornati tutte le 622·614·630 possibilità, ripartendole per Categorie come segue, in base al numero di cerchiature:
quelle con nessuna cerchiatura, oppure con 1 cerchiatura fucsia senza cerchiature rosse, nella Categoria 0
quelle con 1 cerchiatura rossa, oppure con 1 cerchiatura rossa ed 1 fucsia, nella Categoria 1
quelle con 2 cerchiature rosse, oppure con 2 cerchiature rosse ed 1 fucsia, nella Categoria 2
quelle con 3 cerchiature rosse, oppure con 3 cerchiature rosse ed 1 fucsia, nella Categoria 3
quelle con 4 cerchiature rosse, oppure con 4 cerchiature rosse ed 1 fucsia, nella Categoria 4
quelle con 5 cerchiature rosse e nessuna cerchiatura fucsia, nella Categoria 5
quelle con 5 cerchiature rosse ed 1 fucsia, nella Categoria 5+1
quelle con 6 cerchiature rosse, nella Categoria 6
Verificare che il numero di possibilità per ciascuna Categoria risulti come segue:
1 in Categoria 6
6 in Categoria 5+1
498 in Categoria 5
52·290 in Categoria 4
1·905·680 in Categoria 3
28·942·515 in Categoria 2
185·232·096 in Categoria 1
406·481·544 in Categoria 0
Se tutto corrisponde, i calcoli di cui sopra hanno una discreta probabilità di esser corretti...
Metodo 3; verifica computazionale
Si
possono a piacimento stilare programmi per calcolatore che, fissata una
qualsiasi sestina giocata, scandiscano tutte le 622·614·630
possibili sestine che possano capitare in una qualsiasi estrazione, verificando
per ciascuna di esse il punteggio conseguito; a sinistra un esempio della
schermata finale di uno di essi (che però non tiene conto del 5+1).
Se tutti i valori riscontrati per i fattori N corrispondono, come nel caso illustrato, i calcoli di cui sopra hanno una discreta probabilità di esser corretti...
Per la cronaca, il programma di cui a sinistra impiega circa 67" per le sue elaborazioni...
Metodo 4; verifica matematico/pratico/induttiva
Fissate le regole generali del Superenalotto, le formule sopra riportate, ricavate per i vari valori dei fattori N, sono in fondo relative ad un caso particolare, cioè quello con giusto 90 numeri estraibili, ed esattamente 6 numeri da indovinare. Una verifica pratica di tutte le 622·614·630 possibilità è ciò che si può concettualmente ipotizzar di fare, come nel Metodo 2 qui sopra, ma nella realtà in nessuna cartoleria troveremo le 3·459 risme di fogli A4, né alcuno disposto a riempirli...
Si può allora cercare di generalizzare quelle formule, con K arbitrari numeri estraibili e W altrettanto arbitrari numeri da indovinare (cioè non più una sestina, ma una W-ina), per poi provare a vedere se le formule funzionano fissando K e W sufficientemente piccoli, tali da consentire una concreta elencazione di tutti i casi possibili.
Ad esempio se, invece di 90, i numeri estraibili fossero 6; e se invece di 6 quelli da indovinare fossero 4, le 622·614·630 possibilità del caso reale del Superenalotto si ridurrebbero alle seguenti 360:
Le combinazioni non sono pochissime, ma con un po' di pazienza si può verificare (a mano o quasi...) se le formule utilizzate per il caso standard funzionano (opportunamente adattate) anche per questo caso ridotto, o per altri altrettanto maneggevoli...
Se sì, allora i calcoli di cui sopra per il caso standard hanno una discreta probabilità di esser corretti...
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Due dei quattro Metodi di verifica sopra illustrati sono stati effettivamente utilizzati per controllare i risultati riassunti nel Riepilogo, con esito positivo. Si lascia al diligente lettore indovinare quali, e lo si invita a tentar di riapplicarli, tutti o in parte, ad ulteriore verifica...
Perché non si dovrebbe mai e poi mai giocare al Superenalotto
In linea di principio ciascuno Stato, o meglio ciascun Governo di un qualsivoglia Stato, cerca o dovrebbe principalmente cercare di far quadrare il bilancio. Cioè compensare le spese complessive con gli introiti, altrettanto complessivi.
Inevitabilmente e dappertutto, una delle principali fonti di introito per lo Stato, oltre alle tasse, è il Gioco; più la popolazione di uno Stato gioca (ovviamente si parla di metodi leciti, cioè approvati e gestiti dallo Stato), più lo Stato incamera, in quanto esso incetta una parte prestabilita e definita delle giocate, indipendentemente o quasi dalle vincite delle fortunate persone che occasionalmente ne usufruiscono. Il quasi è riferito ad esempio al gioco del Lotto tradizionale: lì in astratto una sbalorditiva serie di coincidenze ipotetiche potrebbe far vincere migliaia di cinquine contemporaneamente, mandando in rosso lo Stato; ciò non può avvenire invece per Totocalcio e Superenalotto, dove le vincite sono invece una percentuale definita delle giocate, e lo Stato non ci rimette mai, nemmeno nelle più fantasiose astrazioni concettuali.
Per lo Stato, o se volete per il Governo, qualsiasi esso sia, il Gioco rappresenta una fonte inestimabile di introito e vantaggi, per più ragioni:
porta considerevoli quantità di danaro nelle casse dell'Erario (un paio di miliardi di € all'anno dal solo Superenalotto)
questo prelievo erariale avviene su base volontaria (anche se non sempre consapevole) da parte di chi gioca; se tutti insorgono e protestano se le aliquote Irpef vengono elevate di mezzo punto, nessuno protesta nel venir depredato in una percentuale che è almeno doppia dell'Irpef, quando partecipa ai Giochi di Stato
il Gioco, nel complesso, crea posti di lavoro; in Italia vi sono 10-20.000 ricevitorie, ed il loro funzionamento non costa nulla allo Stato, in quanto è pagato da una percentuale delle giocate. Inoltre, il reddito prodotto dai gestori è ovviamente soggetto a tassazione, e questo dirotta indirettamente un'altra parte delle giocate nelle casse dell'Erario
L'ammontare delle
giocate, per il Superenalotto, viene ripartito come mostrato qui a destra; nel 
complesso,
le detrazioni tolgono al montepremi il
61,9% dell'importo delle giocate; a paragone, le aliquote Irpef appaiono
come gentili elemosine.
In
fondo, tutto ciò va a vantaggio di chi non gioca: se in astratto
sparisse questa straordinaria fonte di incassi per lo Stato, il Governo (qualsiasi
Governo, per essere Politically Correct) sarebbe 
costretto in qualche modo a rimpiazzarla, semmai aumentando l'Irpef o chissà
quale altra tassa, colpendo
quindi anche coloro che non si sottopongono all'autotassazione volontaria
del gioco... Il non giocare, allora, premia doppiamente; in primis, non
si regala allo Stato il 61,9% delle proprie eventuali giocate; e poi si
usufruisce della copertura di tasse o altri oneri pagati invece dagli incauti
giocatori.
Per il Superenalotto, delle 622·614·630 sestine giocabili, appena 1·958·475 sono vincenti, considerando il complesso dei punteggi dal 3 al 6; quindi il 38,1% delle giocate che appare nel grafico a torta qui sopra viene ridistribuito in qualche modo allo 0,3% circa dei giocatori. Sembra una ripartizione degna della tirannide più feroce ed iniqua concepibile: il Supremo Imperatore incamera quasi metà degli introiti (49,5%), chiede poi ancora più del 12% per mantenere in vita il meccanismo di esazione, e destina ciò che resta alla sua Corte, un contribuente su 300, gli eletti che realizzano 3 punti o più...
Vediamo adesso cosa capita a questo misero 38,1% che viene restituito ai giocatori sotto forma di vincite, disinteressandoci volutamente della moltitudine che non vince (cioè il 99,7% degli scommettitori che realizzano 2, 1 o 0, e che sono lì solo per contribuire alla creazione del tesoro trisettimanale). Il montepremi viene ripartito fra le categorie vincenti in base a percentuali fisse, e per ciascuna categoria l'ammontare viene poi distribuito fra gli appartenenti alla categoria stessa.
Se non esistesse il 5+1, un criterio di ripartizione fra le categorie potrebbe essere l'assegnare il 25% del totale a ciascuna di esse, quelle dei 6, dei 5, dei 4 e dei 3. In fondo, le categorie derivano in modo naturale dalla struttura del gioco; questo criterio comunque crea una classe di altissima eccellenza alla Corte dell'Imperatore (i 6, l'alta Nobiltà), una più larga di Feudatari (i 5), una ancor più vasta di Funzionari di Palazzo (i 4), ed infine uno stuolo di Postulanti e Faccendieri (i 3).
I 5+1 rendono ancor più sperequativa la ripartizione; si ricordi che il 5+1 è una costola del 5, nel senso che (dal punto di vista probabilistico) i 5+1 non sono altro che dei normali 5 che hanno subito una mutazione, un intervento chirurgico o genetico che li trasforma in simulacri dei 6, insomma dei Feudatari di primo Rango, ma artefatti... Quindi la fetta di montepremi destinata ai 5+1 dovrebbe venire esclusivamente prelevata da quella dei 5, assegnando, chessò, il 10% del totale al 5+1 ed il 15% al 5 secco...
Invece
no; la ripartizione del montepremi in categorie avviene come da immagine
a lato: per creare la categoria fittizia dei 5+1 quel che accade è che si sacrifica un po'
quella dei 6, e si interviene pesantemente su quella dei 4. Quella dei 5,
apparentemente altrettanto penalizzata di quella dei 4, in realtà trova una
parziale compensazione proprio nella creazione dei 5+1, loro costola... E
i 3? Crescono sorprendentemente al 30%... E' un po' come se il Sovrano, per
rintuzzare le proteste delle categorie penalizzate dalla creazione dei 5+1,
cercasse consenso populista nella moltitudine dei 3...
In realtà, la ripartizione effettiva mostrata a lato è accuratamente studiata per creare effetti emotivi e psicologici che inducano a giocare... La categoria dei 6 serve a creare il miraggio, ad indurre sogni impossibili, a far balenare visioni... Come osserva giustamente Marco Cattaneo nel suo Blog sul sito de Le Scienze, le cifre che il Jackpot raggiunge sono al di là del comprensibile per la stragrande maggioranza delle persone; un paio di milioni di €, o anche meno, già cambiano la vita di (quasi) chiunque, che bisogno c'è allora di strutturare il gioco in modo che si possa arrivare a 100 milioni e anche oltre? La ragione è quella esposta sopra: le vincite a 9 cifre servono esclusivamente a catturare come per le falene fa una lampadina il maggior numero di scommettitori possibile... Ad irretire l'immaginario con scenari sbalorditivi oltre ogni limite...
Se non ci fosse il 6, il 5+1 sarebbe un equilibrato primo premio per un gioco del tipo del Superenalotto; solitamente produce vincite dell'ordine di 1 milione di € o simile, ed è quello che ci si aspetterebbe da una lotteria: cambiare la vita nella stragrande maggioranza dei casi, ma senza assurdità esagerate come il 6 invece fa.
I 5 ed i 4 sono ragionevoli premi di consolazione per un siffatto gioco a premi; se uno gioca in modo indefesso un paio di sestine in tutti i concorsi per una vita intera, può attendersi concretamente di realizzare qualche 4, i più fortunati un 5. Il valore dei premi, seppur penalizzato dalla decurtazione dovuta all'introduzione del 5+1, resta appetibile ma, soprattutto, il fatto che ad ogni estrazione vi siano decine di vincenti con 5 punti e migliaia con 4 induce i più a pensare che vincere non sia poi tanto difficile, e che valga la pena di tentare.
Altra
storia per i 3; in un gioco congegnato seriamente, questa categoria di premi non dovrebbe
neppure esistere: paga cifre ridicole in caso di vincita, 15 o 20 € di norma,
cioè una presa in giro assoluta. Ma, ancora una volta, risulta utile per indurre dipendenza
psicologica: 
tutti coloro che giocano
con un minimo di assiduità, anche solo 2 o 3 sestine alla volta, ogni tanto un
3 lo realizzano. In un anno vi sono circa 150 estrazioni, e con 2 sestine per
concorso si consegue un 3 mediamente una volta all'anno: questo fornisce ai
giocatori la prova concreta che sì, è possibile vincere, e allora tentiamo ancora ché
la prossima volta andrà meglio... E il fatto che la fetta di montepremi per il
3 sia
gonfiata al 30%, probabilmente serve a garantire che le vincite, seppur minime,
quantomeno compensino il valore delle giocate... Se, nei rari casi di vincita,
si incassasse meno di quanto si è speso per giocare, scatterebbero in molti meccanismi
psicologici di rifiuto... Lo zuccherino elargito di tanto in tanto sarà pure
raro e quasi impalpabile, ma almeno che sia dolce...
In conclusione, ferma restando l'assurdità dell'abnorme prelievo alla fonte che mutila drasticamente il montepremi, il Superenalotto potrebbe diventare più ragionevole se:
si riducesse drasticamente la percentuale destinata alla categoria 6; portarla dal 20% al 5%, ad esempio, manterrebbe le relative vincite ancora nell'ambito delle decine di milioni di €, tali cioè da conservare l'effetto sogno ad occhi aperti, e restituirebbe un discreto valore in più alle categorie inferiori...
si abolisse la categoria dei 3; in fondo, il Totocalcio funzionava anche solo col 13 e col 12... Scendere fino al 3 al Superenalotto è ridicolo, somiglia ai premi da lotteria dell'oratorio, tre saponette o un portacenere...
si irrobustissero le categorie dei 4 e dei 5; prendendo profitto dalla riduzione del 6 e dall'abolizione del 3, queste dovrebbero costituire il nucleo forte delle aspettative del Gioco...
Perché io gioco
sempre al Superenalotto
Essendo
il predicare bene ed il razzolare male una moda conclamata,
ebbene sì, ammetto di
razzolare male, alla
moda appunto. Nel senso che gioco al Superenalotto ad ogni concorso,
nonostante quanto sopra esposto...
Vi sono tre o quattro motivi, criticabili quanto si voglia, per cui può valere la pena di giocare una qualche sestina al Superenalotto; proverò adesso a discuterne...
Il gioco del Superenalotto esiste, è un dato di fatto, e non possiamo ignorarlo, nonostante la sua assurdità intrinseca. Accade inevitabilmente che talvolta qualcuno vinca cifre inconcepibili; la reazione comune verso i benedetti dalla sorte è di disgusto, di somma invidia, di repulsione, di maledizione, di bestemmia, di sconcerto. Ma per poterli davvero condannare per reato di somma fortuna, questi vincitori, occorre essere parte del gioco. Nel senso che non si ha il diritto di dire che cu... se non si è partecipato... Chi stramaledice i vincitori senza aver giocato a sua volta è un po' come chi dice governo ladro ma non va mai a votare... E quindi una quota parte delle modeste giocate trisettimanali serve a comprarsi il diritto di improperio...
Un'altra quota parte delle giocate rientra poi effettivamente nelle tasche: come visto sopra, l'assiduità fa recuperare una media del 38,1% di quanto speso... I risultati empirici personali confermano grossomodo la faccenda, con quattro o cinque 3 realizzati negli anni...
Supponiamo che il
concorso del 26 settembre 2009 qui a destra costituisca un caso tipico:
quasi 6 milioni di € di montepremi corrispondono a più di 15 milioni di €
giocati, pari più o meno a 30 milioni di sestine, cioè una ogni due italiani. Non è
consentito giocare meno di 2 sestine, per cui se tutti coloro che partecipano
giocassero 2 sestine, gli
scommettitori sarebbero 15 milioni. Immagino che sia così per molti dei
partecipanti, ma vi sono anche quelli che giocano più sestine o addirittura
costosissimi sistemi... Se la media complessiva la stimiamo in 5 o 6 sestine
pro capite, i giocatori sono quindi fra i 5 ed i 6 milioni. Chiaramente,
più sestine si giocano, più cresce la probabilità di vincere qualcosa;
con 2 sestine lo 0,6%, con 4 l'1,2%, e così via. Passare da 2 a 4 sestine
fa raddoppiare le probabilità di vincita, ma passare da 4 a 6 le fa
crescere solo del 50%, e comunque rimangono bassissime... Ancor peggio
l'incremento percentuale man mano che si accresce il numero di sestine
giocate... Possiamo allora immaginare di suddividere gli italiani in
categorie come segue (ovviamente le quantità sono solo indicative; conta
qui l'aspetto qualitativo...):
54 milioni di italiani non giocano affatto, ed hanno lo 0,0% di probabilità di vincere qualcosa
3 milioni di italiani giocano 2 sestine alla volta, ed hanno lo 0,6% di probabilità di vincere qualcosa
2 milioni di italiani giocano 3 o 4 sestine alla volta, ed hanno fra lo 0,9% e l'1,2% di probabilità di vincere qualcosa
1 milione di italiani gioca da 5 a 622·614·630 sestine alla volta, ed ha fra l'1,5% ed il 100% di probabilità di vincere qualcosa
Decidere di passare dalla 2a alla 3a categoria fa come visto sopra raddoppiare le probabilità... Ma il decidere di passare dalla 1a alla 2a comporta un incremento di tali probabilità pari a:
L'incremento delle speranze è sbalorditivo, al modesto prezzo di 1€ alla volta...
Se si va al Luna Park e si decide di fare un giro sulle montagne russe, al ritorno a casa ci si ritrova con qualche € in meno in tasca e niente di concreto nelle mani; si è scelto di spendere qualcosa per pagarsi una Emozione. Ciò a dire che non è vero che quando spendiamo i nostri soldi ci aspettiamo sempre un ritorno concreto e tangibile: fra le cose per le quali si è disposti a cacciar soldi vi sono anche quelle impalpabili e prive di consistenza. Come il piccolissimo momento di sospensione del respiro in cui si va a controllare l'estrazione del Superenalotto... La nostra Ragione è ben cosciente che le speranze sono infinitesime, ma Emozione è il contrario di Ragione, e sarà pur lecito mandare i neuroni in vacanza per un minuto ogni due o tre giorni, smarrendosi fra sogni impossibili... Nessuno sale sulle montagne russe pensando che (siccome F = m · a e siccome ovviamente le montagne russe sono progettate al meglio) non capiterà nulla di pericoloso, per cui continua tranquillo a leggere il giornale anche a testa in giù...
Per concludere, è ovvio che il giocare (il minimo, naturalmente) non è un investimento o una concreta speranza di arricchirsi; è solo una spesa consapevole con cui si può scegliere di pagarsi le piccole cose di cui sopra...
NOTA FINALE
Un paio di giorni fa (settembre 2009) una notizia alla radio ha segnalato che la prossima Lotteria Italia del 6 gennaio 2010 sarà dotata di due Primi Premi da 5 milioni di € ciascuno, e non uno soltanto come al solito... Ciò poiché nessuno si è presentato ad incassare il Primo Premio del gennaio 2009, che viene quindi rimesso in gioco...
Non si è tenuto conto, nelle considerazioni di cui sopra sul Superenalotto, del fatto che una parte dei premi delle Lotterie non viene mai incassata; diversamente dal caso estremo della Lotteria Italia sopra esposto, le vincite non distribuite non ritornano in circolo, e vanno a far calare ulteriormente le già misere percentuali destinate agli sporadici vincitori. Perché capita? Beh, uno dei motivi è che ad esempio in Italia ogni anno avvengono circa 600.000 decessi, grosso modo l'1% della popolazione. In media, anche l'1% dei giocatori di Superenalotto o altri giochi a premi defunge, e così vale in proporzione per i vincitori dei suddetti giochi... Semmai i biglietti vincenti vengono ritrovati ormai scaduti dopo anni in qualche cassetto, dagli eredi...
29
settembre
2009, Bruno Davide
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